Αν κάναμε μια ψηφοφορία ανάμεσα σε μαθητές για να βρούμε ποιο μάθημα θεωρούν πως είναι το λιγότερο ελκυστικό, τα μαθηματικά θα ήταν ένα από τα φαβορί για την πρώτη θέση. Υπάρχει όμως και η διασκεδαστική πλευρά των μαθηματικών και ίσως θα έπρεπε οι δάσκαλοι να την αξιοποιούσαν ώστε να αλλάξουν λίγο την εικόνα του μαθήματος, τουλάχιστον σε μικρότερες ηλικίες. Προσωπικά αυτή τη διασκεδαστική πλευρά τη βρίσκω στις πιθανότητες που έχουν να κάνουν, φυσικά, με καταστάσεις της πραγματικής ζωής. Είναι αρκετά ενδιαφέρον το ότι η ανθρώπινη διαίσθηση κάνει τόσο συχνά λάθος εκτιμήσεις όταν έχουμε να κάνουμε με πιθανότητες. 

Ας δούμε μερικά τέτοια παραδείγματα. Μια οικογένεια έχει τέσσερα παιδιά. Ποια είναι η πιθανότητα να έχουν δυο αγόρια και δυο κορίτσια με οποιαδήποτε σειρά. Οι περισσότεροι θα απαντήσουν 50% ενώ η απάντηση είναι 37,5% . Αν γράψουμε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς (που είναι 16) το σενάριο δυο αγοριών και δυο κοριτσιών το βρίσκουμε 6 φορές. Σε άλλη περίπτωση γνωρίζεις κάποια και σου λέει ότι έχει δυο παιδιά και ότι το ένα είναι αγόρι. Ποια είναι η πιθανότητα το άλλο παιδί να είναι πάλι αγόρι. Σχεδόν όλοι θα σου πουν πάλι 50%. Η απάντηση όμως, αν δούμε όλες τις πιθανότητες για οικογένεια με δυο παιδιά, είναι 33%, εκτός και αν ξέρουμε τη σειρά γέννησης του ενός αγοριού. Το λάθος είναι ότι εξετάζουμε την πιθανότητα αποσπασματικά και όχι συνολικά, κοιτώντας όλα τα σενάρια.

Κάτι παρόμοιο συμβαίνει και στο γνωστό τηλεπαιχνίδι με τις τρεις κουρτίνες. Ας πούμε ότι διαλέγεις την κουρτίνα 3, ο παρουσιαστής ανοίγει την 1 και δεν είναι το μεγάλο δώρο εκεί αλλά σου δίνει τη δυνατότητα να αλλάξεις επιλογή και να πας στη 2. Σχεδόν όλοι κρατούν την αρχική τους επιλογή ενώ το σωστό είναι να αλλάξουμε. Αρχικά είχαμε 33% πιθανότητα επιτυχίας όμως αλλάζοντας διπλασιάζουμε το ποσοστό μας αφού η 2 έχει τώρα το 66% που πριν είχε μαζί με την 1. Το λάθος είναι ότι δεν κοιτάμε τις πιθανότητες συνολικά από την αρχή αλλά αποσπασματικά λες και ξεκίνησε το παιχνίδι όταν οι κουρτίνες ήταν μόνο δύο. Επίσης εδώ η ψυχολογία παίζει τον ρόλο της καθώς η αποκάλυψη ότι μια κουρτίνα που δεν διάλεξες δεν είχε το δώρο το εκλαμβάνεις ως επιβεβαίωση (λανθασμένα βέβαια) ότι είσαι σε καλό δρόμο. Ένας τρόπος να το δούμε πιο καθαρά είναι να σκεφτούμε το ίδιο σενάριο με 1.000 κουρτίνες. Διαλέγεις μια κουρτίνα (έχεις 0,1% πιθανότητα νίκης) και ο παρουσιαστής ανοίγει 998 κουρτίνες που δεν έχουν το μεγάλο δώρο και σου αφήνει μόνο μια κλειστή εκτός από τη δική σου. Είναι τώρα πιο εμφανές ότι αλλάζοντας πας από το 0,1% πιθανότητα νίκης στο 99,9%.

Μιας και ανέφερα τον παράγοντα της ψυχολογίας ας δώσω και μια συμβουλή στους παίκτες του Τζόκερ. Όλα τα νούμερα έχουν την ίδια πιθανότητα κλήρωσης, αλλά καλό είναι να διαλέγεις εκείνα που είναι μεγαλύτερα από το 31. Εφόσον ο περισσότερος κόσμος παίζει συχνά με νούμερα που έχουν να κάνουν με γενέθλια και σημαντικές για εκείνους ημερομηνίες αυτός είναι ένας τρόπος να μειώσεις τις πιθανότητες να μοιραστείς τα κέρδη με πολλούς, αν ποτέ κερδίσεις. Ένα ακόμη γνωστό παράδειγμα όπου η απάντηση είναι πολύ μακριά από τη διαίσθησή μας είναι ο αριθμός των ανθρώπων που χρειάζονται σε ένα δωμάτιο ώστε οι πιθανότητες, δύο από αυτούς να έχουν ίδια μέρα γενέθλια, να είναι τουλάχιστον 50%. Για να συμβεί αυτό χρειάζονται μόνο 23 άτομα και αυτό πάντα ξαφνιάζει τους ανθρώπους.

Πολλές φορές ακούμε για εντυπωσιακά γεγονότα στις ειδήσεις όπως «Γυναίκα γεννά το όγδοο αγόρι της στη σειρά» αλλά αν δούμε τους αριθμούς και τις πιθανότητες δεν είναι καθόλου σπάνια. Σίγουρα η πιθανότητα κάτι τέτοιο να συμβεί σε μια γυναίκα που γνωρίζεις είναι μικρή αλλά συνολικά σε μια χώρα όπως η Βρετανία αυτό θα έπρεπε να συμβαίνει σε τέσσερις γυναίκες κάθε χρόνο. Εκεί έχεις 700.000 γέννες ετησίως και περίπου 1.000 γυναίκες θα γεννήσουν το όγδοο παιδί τους. Αφού η πιθανότητα να είναι πάλι αγόρι είναι 1 στις 256 θα έπρεπε κάθε χρόνο να έχουμε 4 γυναίκες που γενούν 8 αγόρια. Η πραγματική είδηση θα ήταν αν κάποια χρονιά κάτι τέτοιο δεν συμβεί. Το ίδιο πράγμα βλέπουμε με άλλα γεγονότα όπως τρία αδέρφια που πεθαίνουν την ίδια μέρα ή κάποια που κέρδισε το Λόττο δυο φορές. Μεμονωμένα, δηλαδή το να συμβεί κάτι τέτοιο στην οικογένειά σου, οι πιθανότητες είναι μικρές αλλά συνολικά στα εκατομμύρια ανθρώπων οι υπολογισμοί δείχνουν ότι τα λεγόμενα σπάνια γεγονότα είναι συχνά και ο τρόπος παρουσίασης μπορεί να δημιουργεί διάφορες εντυπώσεις. Εδώ φυσικά μας έρχεται στο μυαλό η φράση που άλλοι αποδίδουν στον Mark Twain τον Αμερικανό συγγραφέα και άλλοι στον Βρετανό πολιτικό Benjamin Disraeli που λέει ότι υπάρχουν ψέματα τριών ειδών: Ψέματα, καταραμένα ψέματα και η στατιστική. 

Τα μαθηματικά μπορεί να είναι απλά σε όλες αυτές τις περιπτώσεις των υπολογισμών των πιθανοτήτων αλλά θα επαναλάβω ότι τέτοια παραδείγματα μπορούν ίσως να αλλάξουν τη διάθεση τόσο των μαθητών όσο και των ενηλίκων απέναντί τους. Είμαι επίσης σίγουρος ότι αν αλλάξει ο τρόπος σκέψης μας και αρχίσουμε να βλέπουμε καθαρά τα νούμερα των πιθανοτήτων θα έχουμε καλύτερες άμυνες απέναντι στη χειραγώγηση και τους εντυπωσιασμούς.

Ακολουθήστε το Protagon στο Google News